Twierdzenie spektralne.html

agencja reklamowa w krakowie - bransoletki - gadzety reklamowe wroclaw - Darłowo - prace dyplomowe - Angielski Lublin - Zioła alveo - alveo - trampingi - Konferencje Kołobrzeg

Twierdzenie spektralne – wspólna nazwa twierdzeń w algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej uogólniających twierdzenie teorii macierzy mówiące, że

Każda macierz normalna może zostać zdiagonalizowana (przy pomocy odpowiedniej macierzy przejścia).

Ściślej, jeżeli traktujemy macierz normalną jako macierz pewnego endomorfizmu przestrzeni euklidesowej, to można znaleźć bazę ortonormalną tej przestrzeni, w której macierz ta będzie diagonalna. Twierdzenia spektralne uogólniają ten fakt na przestrzenie nieskończenie wymiarowe z punktu widzenia algebry i analizy funkcjonalnej.

edytuj Operatory samosprzężone

edytuj Przypadek rzeczywisty

Niech $V$ będzie przestrzenią ortogonalną nad ciałem liczb rzeczywistych z dodatnio określonym funkcjonałem dwuliniowym^[1]. Jeśli $A : V \to V$ jest endomorfizmem samosprzężonym, to istnieje baza ortogonalna przestrzeni $V$ złożona z wektorów własnych endomorfizmu $A .$

edytuj Przypadek zespolony

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową skończonego wymiaru nad ciałem liczb zespolonych z formą hermitowską dodatnio określoną^[1]. Jeśli $A : V \to V$ jest operatorem samosprzężonym, to istnieje baza ortogonalna przestrzeni $V$ złożona z wektorów własnych operatora $A .$

edytuj Wniosek

Przy założeniach powyższych twierdzeń:

Istnieje baza ortonormalna przestrzeni

V

złożona z wektorów własnych operatora

A

. Wystarczy wektory bazy ortogonalnej unormować (tzn. każdy wektor podzielić przez jego normę).

edytuj Operatory normalne

Twierdzenie spektralne mówi, że każdemu operatorowi normalnemu odpowiada dokładnie jedna hermitowska miara spektralna na rodzinie borelowskich podzbiorów jego widma o tej własności, że operator ten może być odtworzony z niej w sposób jednoznaczny. Ściślej, jeśli $H$ jest przestrzenią Hilberta oraz $T\colon H\to H$ jest operatorem normalnym, to istnieje dokładnie jedna hermitowska miara spektralna $E$ określona na rodzinie borelowskich podzbiorów $σ(T)$ taka, że

$T = \int\limits_{\sigma (T)} \lambda E(d\lambda)$ .

Hermitowskie miary spektralne są miarami wektorowymi, a całka w powyższym wzorze oznacza właśnie całkę względem miary wektorowej z (tożsamościowej) funkcji skalarnej.

edytuj Uwagi

Miara spektralna $E$ z powyższego twierdzenia nazywana jest również rozkładem spektralnym operatora $T$ lub przedstawieniem spektralnym operatora $T$ .
Jeżeli $B$ jest borelowskim podzbiorem $σ(T)$ oraz $S\colon H\to H$ jest operatorem ograniczonym, który komutuje z $T$ , tzn. $T S = S T$ , to operator (hermitowskie miary spektralne mają wartości operatorowe) $E (B)$ komutuje z $S$ .
Twierdzenie spektralne może być postrzegane jako szczególny przypadek twierdzenia dotyczącego raczej całych algebr operatorów normalnych niż ich pojedynczych elementów:

Niech $\mathcal{B}(H)$ oznacza algebrę wszystkich ograniczonych (ciągłych) operatorów na przestrzeni Hilberta

H

. Jeśli

A

jest domkniętą podalgebrą $\mathcal{B}(H)$ złożoną z operatorów normalnych, która zawiera operator identycznościowy

I

i jeśli

Δ

jest przestrzenią ideałów maksymalnych

A

, to

(a) istnieje dokładnie jedna miara wektorowa

E

na rodzinie borelowskich podzbiorów

Δ

o wartościach w $\mathcal{B}(H)$ taka, że

$T=\int\limits_\Delta \hat{T}dE$

dla każdego $T\in A$ , gdzie $\hat{T}$ jest transformacją Gelfanda

T

(b) odwrotną transormację Gelfanda (tj. odwzorowanie $\hat{T}\mapsto T$ ) można przedłużyć do izometrycznego *-izomorfizmu

Φ

algebry $L^\infty(E)$ na domkniętą podalgebrę $A^\prime$ w $\mathcal{B}(H)$ , $A\subseteq A^\prime$ . Co więcej, *-izomorfizm

Φ

wyraża się wzorem

$\Phi f=\int\limits_\Delta f dE,\; f\in L^\infty(E)$ .

Dokładniej,

Φ

jest izometrycznym operatorem liniowym i multyplikatywnym takim, że $\Phi \overline{f}=(\Phi f)^*$ dla $f\in L^\infty (E)$ .

(d) jeśli $B\subseteq \Delta$ jest domknięty i niepusty, to $E(B)\neq 0$ ,

(e) operator $S\in \mathcal{B}(H)$ komutuje z każdym $T\in A$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $B\in \mbox{Borel}(\sigma(T))$ operator

S

komutuje z

E (B)

Ważniejszymi narzędziami w dowodzie powyższego twierdzenia są: twierdzenie Gelfanda-Najmarka, twierdzenie Riesza-Skorochoda i lemat Urysohna.

edytuj Zobacz też

Przypisy

↑ ^1,0 ^1,1 Przestrzeń o której mowa to szczególny przypadek przestrzeni Hilberta.

edytuj Źródła

Serge Lang, Ryszard Bittner: Algebra. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1984, ss. 360-365. ISBN 83-01-01519-5.
Włodzimierz Mlak: Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, ss. 257-265. ISBN 83-01-07376-4.
Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2001, ss. 327-344. ISBN 83-01-13375-9.
Eric W. Weisstein: Spectral Theorem - Wolfram MathWorld (ang.). [dostęp 10 lutego 2009].

MATEUSZ BLOG - ZIEMOWIT BLOG - GOSKA BLOG - RAJMUND BLOG - KRZYCHU BLOG - URSZULA BLOG - AGATON BLOG - DOMINIKA BLOG - RUPERT BLOG - WIKTORIA BLOG - WILHELM BLOG - KAZIU BLOG - DAWID BLOG - WLADEK BLOG - MSCISLAW BLOG kursy szkolenia nauka Symfonia w poznaniu szkolenia księgowości poznań szkolenie-szkolenia nauka w katowicach szkolenia kadrowo płacowe katowice szkolenie kurs-szkolenia nauka nauka excel wrocław szkolenie kurs-szkolenia nauka kursy obslugi klienta szkolenie kurs-praca tymczasowa w warszawie agencja pracy warszawa rekrutacja stała-Czy wiesz kim był W. S. Reymont ?-pracodawco znajdz pracownika praca portal za darmo w serwisie-ogłoszenia pracy oferty pracy bielsko biała praca w Bielsku białej-ogłoszenia pracy oferty pracy katowice praca w katowicach-ogłoszenia pracy oferty pracy bydgoszcz praca w bydgoszczy-oferty pracy ogłoszenia praca opole praca w opolu-oferty pracy ogłoszenia praca Piotrków trybunalski praca w Piotrkowie trybunal-ogłoszenia pracy oferty pracy ostróda praca w ostródzie