Liczby naturalne.html

Rugby w Polsce - mieszkanie łódź - Higiena Pracy - kaseton - ten zamek bedzin - polerki - wypożyczalnia samochodów - Galeria wnętrz - Noclegi Kamienica - adwokat katowice

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Należy w nim poprawić/wykonać działania: a) Jak Eudoksos zdefiniował liczby rzeczywiste, nie mając definicji liczb naturalnych? naiwnie, intuistycznie: przez długi czas posiłkowano się pojęciem pochodnej i granicy bez ich ścisłej definicji; b)Język bełkotliwy, 1/5 artykułu na temat oznaczeń....
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się na stronie dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.

To czy zero jest liczbą naturalną jest kwestią umowy. W matematyce nie przyjęto ogólnie żadnej konwencji dotyczącej przynależności zera lub jej braku do liczb naturalnych. Interesujące, że z punktu widzenia matematyki obie definicje można uważać w gruncie rzeczy za równoważne. Za konkretnym stanowiskiem decydują często przypadki szczególne, takie jak uproszczenie zapisu pewnych symboli, ograniczenie przypadków szczególnych itp.

edytuj Historia

Pierwsze systematyczne, abstrakcyjne studia nad liczbami przypisuje się greckim filozofom: Pitagorasowi i Archimedesowi. Poza Grecją niezależne rozważania prowadzono w rejonie Indii, Chin i Ameryki Środkowej.

Pierwszym krokiem do wyabstrahowania liczb naturalnych było stworzenie sposobu ich zapisu. W Babilonii stosowano na przykład cyfry o wartościach od 1 do 10, gdzie o wartości liczby decydowała pozycja kolejnych cyfr w szeregu. W starożytnym Egipcie stosowano odpowiednie hieroglify o wartościach 1, 10 i kolejnych potęgach 10, aż do miliona.

Choć wydawałoby się, że liczby naturalne są podstawowym pojęciem matematycznym i ich definicja była jedną z wcześniejszych, to jednak jest inaczej. Przykładowo bardziej skomplikowane liczby rzeczywiste (używane już w starożytności przez Eudoksosa, ok. 408 p.n.e – ok. 355 p.n.e) zostały zdefiniowane formalnie przez Dedekinda w połowie XIX w, podczas gdy definicję liczb naturalnych podał Giuseppe Peano pod koniec XIX w.

edytuj Zero

Pierwotnie zero było wykorzystywane jako pomoc w oznaczeniu "pustego miejsca". Już w VII w. p.n.e. Babilończycy stosowali zero jako cyfrę w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie jako liczba. W cywilizacji Majów zero było znane jako liczba już w I w. p.n.e. (być może znali je już w IV wieku p.n.e. wchłonięci przez Majów Olmekowie). W kulturze zachodniej zero, jako oddzielna, pełnoprawna wartość, pojawiło się znacznie później.

W roku 130 zera używał Klaudiusz Ptolemeusz. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, pierwsze wzmianki pochodzą z roku 628. Zero stosowano niekonsekwentnie również w średniowieczu, nie miało ono jednak swojej reprezentacji w cyfrach rzymskich - stosowano łacińskie słowo nullae.

edytuj Oznaczenia

Obie wersje posiadają ścisłe formalne definicje. Dla każdej z tych dwóch wersji pojęcia liczb naturalnych stosuje się często zarówno oznaczenie $\mathbb{N}$ , jak i $\mathbb{Z}_{+}$ , rzadziej inne.^[1]

Oznaczanie zbioru liczb naturalnych (tj. całkowitych dodatnich) lub całkowitych nieujemnych specjalnym symbolem w monografiach poświęconych teorii liczb stało się umiarkowanie popularnym relatywnie niedawno. Dawniej, i często również dziś, pisano o zbiorach liczb całkowitych dodatnich lub zbiorach liczb całkowitych nieujemnych, a symbolu zbioru liczb naturalnych nie wprowadzano.^[2]

W elementarnej i analitycznej teorii liczb określenie "liczby naturalne" oznacza dodatnie liczby całkowite. W algebraicznej teorii liczb występują pierścienie, a więc pierścień liczb całkowitych wymiernych Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...}, a o liczbach naturalnych w zasadzie się nie mówi. W wielu monografiach nie występuje ani symbol N, ani Z⁺, ani żaden inny, oznaczający zbiór liczb naturalnych. Bierze się to z nikłych teoriomnogościowych wymagań teorii liczb – tak nikłych, że w wielu monografiach z teorii liczb nie występuje symbol „ $\in$ ” (należenia do zbioru), wobec czego symbol zbioru liczb naturalnych nie był wykorzystywany.

Warto również zauważyć, że w teorii mnogości zbiór liczb naturalnych jest oznaczany symbolem ω (lub $ω 0$ ) a przyjmowaną definicją jest sformułowana poniżej definicja von Neumanna (zatem $\omega=\{0,1,2,\ldots\}$ ).

Inną stosowaną formą rozróżnienia jest $\mathbb{N}_{0}=\{0,1,\ldots\}$ i $\mathbb{N}^{*}=\{1,2,\ldots\}$ .

edytuj Definicje

edytuj Postulaty Peano

Podanie ścisłej definicji zbioru liczb naturalnych, choć proste, zajęło matematykom wiele czasu. Giuseppe Peano zaproponował następujące warunki (tzw. postulaty lub aksjomaty Peano), które musi spełniać dowolna konstrukcja zbioru liczb naturalnych:

0 jest liczbą naturalną;
Każda liczba naturalna ma swój następnik, oznaczany $S (a)$ ;
0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej;
Różne liczby naturalne mają różne następniki: $a \not = b \Rightarrow S(a) \not = S(b)$ ;
Jeśli zero ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej o tej własności również ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej).

Z ostatniej własności wynika, że każda liczba naturalna albo jest zerem albo następnikiem pewnej liczby naturalnej.

Gdyby w powyższej wersji aksjomatyki Peano zamienić 0 przez dowolny inny symbol (różny od S), to zmiana byłaby czysto formalna, nic istotnie nie zmieniłoby się. W szczególności można zamiast 0 napisać 1. Zauważmy, że aksjomaty Peano nic nie mówią o operacjach arytmetycznych takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, itd, ani też nie wspominają uporządkowania (relacji $\leqslant$ ). Definiują tylko operację następnika, S. Pozostałe pojęcia trzeba dopiero zdefiniować w terminach S. Okazuje się to możliwe. Poniżej, dwa warunki definiują dodawanie, dla którego 0 gra rolę elementu neutralnego (pierwszy warunek w definicji: $a+0=a\;$ ). Gdyby jednak warunek ten zastąpić przez: $a+0=S(a)\;$ , to znaczenie 0 byłoby inne, mianowicie 0 zachowywałoby się względem tak zdefiniowanego dodawania jak liczba jeden, i wtedy zwyczajowo stosujemy symbol 1, a nie 0.

Dodawanie definiujemy jako operację spełniającą następujące warunki:

$a+0=a\;$
$a+S(b)=S(a)+b\;$

To wystarczy do wyliczenia sumy liczb np. obliczając $2 + 2$ (dwa oznacza skrótowy zapis liczby S(S(0))), kolejno otrzymujemy:

2+2
2+S(1) bo 2 jest następnikiem 1
S(2)+1 z definicji
3+1 następnik 2 oznaczamy symbolem 3
3+S(0) 1 jest następnikiem 0
S(3)+0=S(3) z definicji
S(3)=4 następnik 3 oznaczamy symbolem 4

Podobnie definiujemy mnożenie jako operację spełniającą warunki:

a*0=0
a*S(b)=(a*b)+a

W wersji liczb naturalnych wykluczającej 0, pierwszy aksjomat mnożenia (a*0=0) byłby zastąpiony przez warunek: a*1 = a.

Powyższe postulaty mówią jakie własności mają liczby naturalne, z definicji. W ramach teorii mnogości zbiór liczb naturalnych, spełniający aksjomaty Peano, można skonstruować na wiele sposobów. Szczególnie popularna jest konstrukcja von Neumanna (patrz niżej).

edytuj Konstrukcja Fregego-Russella

Pierwsza konstrukcja liczb naturalnych, autorstwa Gottloba Fregego i niezależnie Bertranda Russella^[3], definiuje je po prostu jako liczności (ściślej: moce) zbiorów skończonych.

edytuj Model von Neumanna

Jest to przykład eleganckiej konstrukcji zbioru liczb naturalnych w ramach teorii mnogości, podanej przez amerykańskiego matematyka John von Neumanna - nie jedynej, ale jednej z ważniejszych:

Niech X - zbiór induktywny.

Niech $P := \{Y \subset X: Y\text{ -- induktywny}\}$ . Przecięcie $\mathbb{N} := \cap P$ jest zbiorem induktywnym (dowód przy aksjomacie nieskończoności), zawartym w każdym innym induktywnym:

rzeczywiście, niech

Z

- zbiór induktywny. To $\mathbb{N} \cap Z$ też jest zbiorem induktywnym (jako przecięcie zbiorów induktywnych), zawartym w $X\,$ , a więc zawierającym $\mathbb{N}$ , a więc równym $\mathbb{N}$ – co kończy dowód.

Korzystając z faktu induktywności $\mathbb{N}$ :

$\empty \in \mathbb{N}$ - oznaczamy jako 0;
$S(\empty) = \{\empty\}$ - oznaczamy jako 1;
$S(\{\empty\}) = \{\empty ,\{\empty\}\}$ - oznaczamy jako 2;

i tak dalej.

Tak skonstruowany zbiór liczb naturalnych spełnia aksjomaty Peano.

Tak więc w modelu von Neumanna (i na ogół w teorii mnogości) za każdą liczbę naturalną uważamy zbiór składający się ze wszystkich poprzednich liczb naturalnych, np. 2 = {0,1}, 5 = {0,1,2,3,4} itd.

edytuj Podstawowe własności

Dla dowolnych liczb naturalnych $m, n$ :

$m < n \Rightarrow m \leqslant n$ ;
$\neg(n < n)$ ;
$m \leqslant n \wedge \neg(m = n) \Rightarrow m<n$ ;
$S(m) = S(n) \Rightarrow m = n$ ;
$n \leqslant k \leqslant S(n) \Rightarrow k=n \vee k=S(n)$ ;
$m = n \vee n < m \vee m < n$ .

W każdym z poniższych zbiorów można wyróżnić podzbiór, który jest izomorficzny ze zbiorem liczb naturalnych:

To znaczy: pewne podzbiory tych zbiorów, z odziedziczonymi działaniami dodawania i mnożenia, spełniają aksjomaty Peano.

Przypisy

↑ Niestandardowe oznaczenia występują na przykład w klasycznej monografii "Enumerative Combinatorics", w której autor, Richard P. Stanley, zbiór dodatnich liczb całkowitych oznacza przez P (od angielskiego "positive"), oraz nieujemnych – przez N.
↑ Na przykład w "The Riemann Zeta-Function, Theory and Applications", Aleksandara Ivića (© 1985):

NOTATION

k,l,m,n natural numbers (positive integers)

albo w "O Rozkładach Liczb Wymiernych na Ułamki Proste", Sierpińskiego:

... o naturalnym (czyli całkowitym dodatnim) mianowniku, a więc liczby postaci 1/n, gdzie n = 1, 2, 3, ...

Podobnie zaczyna się paragraf z notacją w monografii Winogradowa "Metoda Trygonometrycznych Sum w Teorii Liczb, bo od zdania

..., n oznacza dodatnią liczbę całkowitą, większą od 1, i

ν = 1/n

(słowo dodatnią wystąpiło powyżej chyba dla podkreślenia).
↑ Russell ogłosił ją w swojej Principia Mathematica

edytuj Zobacz też

bronek - ullrich - pozycjonowanie stron Poznań nauka symfonia szkolenie kadrowo płacowe gdańsk w gdańsku